Die Bahnkurve eines Punktes im Abstand $a$ vom Mittelpunkt eines Kreises mit Radius $r=1$, der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ abrollt, heißt Zykloide und wird durch die folgende Vektorfunktion beschrieben: \begin{equation} \label{eq:zykl_ges} \vec{r}(t) = \binom{r\omega t-a\sin(\omega t)}{r - a \cos(\omega t)} \end{equation}
Der Ortsvektor $\vec{r}(t)$ zum Punkt $P$ lässt sich als Überlagerung zweier Bewegungen verstehen, also \begin{equation} \vec{r}(t) = \overline{OP} = \vec{r}_m(t) + \vec{r}_a(t) \label{eq:zykl_herl1} \end{equation} Dabei beschreibt $\vec{r}_m(t)$ die geradlinige Bewegung des Radmittelpunktes mit konstanter Geschwindigkeit $v = r \cdot \omega$, also \begin{equation} \vec{r}_m(t) = \overline{OM} = \binom{r\omega t}{r}. \label{eq:rmt} \end{equation} $\vec{r}_a(t)$ beschreibt die Kreisbewegung des Punktes $P$ im Abstand $a$ um den Kreismittelpunkt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$. Die Phase der Kreisbewegung muss dabei so gewählt werden, dass $\vec{r}(0) = \vec{0}$ gilt. Damit ergibt sich \begin{equation} \vec{r}_a(t) = \overline{MP} = a \binom{\sin(\omega t)}{-\cos(\omega t)}. \label{eq:rat} \end{equation} Die Zykloidengleichung \eqref{eq:zykl_ges} ergibt sich, wenn man die Gleichungen \eqref{eq:rmt} und \eqref{eq:rat} in \eqref{eq:zykl_herl1} einsetzt.
Die Ableitung lässt sich konstruieren, indem man den Vektor \begin{equation} \frac{1}{\Delta t} ( \vec{r}(t+\Delta t) - \vec{r}(t) ), \end{equation} also den mit $1/\Delta t$ skalierten Differenzvektor zwischen den Ortsvektoren $\vec{r}(t+\Delta t) = \overline{OQ}$ und $\vec{r}(t) = \overline{OP}$ betrachtet. Die Ableitung ergibt sich als Grenzwert $\Delta t \to 0$, bei dem der Punkt $Q$ an den Punkt $P$ herangeschoben wird. Die geometrische Konstruktion zeigt, dass der enstehende Differenzvektor tangential an die Bahnkurve zeigt. Rechnerisch wird der Grenzwert komponentenweise ausgeführt, die Komponenten werden also unabhängig voneinander differenziert: \begin{equation} \dot{\vec{r}}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{r}(t+\Delta t) - \vec{r}(t)}{\Delta t} = \binom{r\omega - a \omega \cos(\omega t)}{a\omega \sin(\omega t)} \end{equation}